MÉTODO DE PÓLYA Y APLICACIÓN EN ESTRATEGIAS DE ENSAYO Y ERROR Y CUADRO O LISTA


MÉTODO PÓLYA

Escalante (2015) en sus tesis "MÉTODO PÓLYA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS (Estudio realizado con estudiantes de quinto primaria, sección "A", de la Escuela Oficial Rural Mixta "Bruno Emilio Villatoro López", municipio de La Democracia, departamento de Huehuetenango, Guatemala)"  cita a Miller (2006) quien menciona que el 13 de diciembre de 1887 en Hungría nació un científico matemático llamado George Pólya. Estudió en la Universidad de Budapest; donde abordó temas de probabilidad. Elaboró tres libros y más de 256 documentos donde indicaba que para deducir algo se tiene que percibir el problema. George Pólya investigó muchos enfoques, propuestas y teorías; su teoría más importante fue la Combinatoria. El interés en el proceso del descubrimiento y los resultados matemáticos llegaron en él, despertar el interés en su obra más importe la resolución de problemas. Se enfatizaba en el proceso de descubrimiento más que desarrollar ejercicios sistematizados.

Al percibir la realidad de lo difícil que era la resolución de problemas George Pólya contribuye con cuatro fases o pasos, los cuales se describen a continuación:
  1.  Entender el problema Este primer paso trata de imaginarse el lugar, las personas, los datos, el problema. Para eso, hay que leer bien, replantear el problema con sus propias palabras, reconocer la información que proporciona, hacer gráficos, tablas. A veces se tiene que leer más de una vez.
  2. Diseñar un plan En esta etapa se plantean las estrategias posibles para resolver el problema y seleccionar la más adecuada.
  3. Ejecutar el plan Ya se tiene el plan seleccionado, así que se aplica. Se Resuelve el problema, monitorear todo el proceso de solución.
  4. Examinar la solución Luego de resolver el problema, revisar el proceso seguido. Cerciorarse si la solución es correcta, si es lógica y si es necesario, analizar otros caminos de solución.
Borragán (2006) comenta que según Pólya, en la solución de un problema los estudiantes aplican las cuatro operaciones mentales de manera flexible; esto quiere decir; que éstos pasos no se trabajan necesariamente en una secuencia lineal.


Ejemplo
Problema: Camisas
Mi papá tiene una camisa por cada color del arcoíris, además, cada camisa la usa un día específico de la semana. Ayer usó la azul pero el martes quiere utilizar la violeta, el último día de la semana usará la naranja y el viernes, por ser su día feliz, se pondrá la amarilla. Hoy llevó al trabajo la roja. En tres días usará la de color índigo y el cuarto día de la semana es el destinado para vestir de color verde. Si se sabe que el viernes es el sexto día de la semana ¿qué día es hoy?

 Paso 1. Entender el problema
  • Debemos averiguar qué día es hoy.
  • Tiene camisas de colores.
  • Son 7 camisas ya que el arcoíris tiene 7 colores.
  • Son 7 días de la semana.
  • Cada camisa es usada un día específico de la semana.
Paso 2. Diseñar un plan
Para la resolución de este caso se realizará un cuadro. Podemos ir tachando la dentro del cuadro cuál o cuáles son las opciones menos acertadas al color de la camisa para cada día.


Paso 3. Ejecutar el plan
DÍAS Y COLORES
ROJO
NARANJA
AMARILLO
VERDE
AZUL
ÍNDIGO
VIOLETA
DOMINGO
X
X
X
X
✔
X
X
LUNES
✔
X
X
X
X
X
X
MARTES
X
X
X
X
X
X
✔
MIÉRCOLES
X
X
X
✔
X
X
X
JUEVES
X
X
X
X
X
✔
X
VIERNES
X
X
✔
X
X
X
X
SÁBADO
X
✔
X
X
X
X
X















PASO 4. Examinar la solución
Hoy es lunes, ya que al ir tachando concluimos que cada color de camisa encaja con un día en específico: l domingo vistió una camisa azul, hoy lunes vistió una roja, el martes usó una violeta, el miércoles utilizó una camisa verde, el día jueves llevó la de color índigo y viernes y sábado, amarillo y naranja respectivamente.

ESTRATEGIA DE ENSAYO Y ERROR


Este tipo de aprendizaje llevó a Thorndike a postular la "ley del efecto".
Se suele considerar este tipo de aprendizaje como un modelo afín al estudiado por Skinner con el título de "condicionamiento operante".
Esta estrategia es muy útil en la resolución de problemas, consiste en llevar a cabo los siguientes pasos:

− Elegir un valor posible
− Imponer a ese valor las condiciones dadas en el problema
− Probar si se ha alcanzado el objetivo esperado.
Si el resultado no es le esperado se repite todo el proceso con otro valor, y así sucesivamente, hasta alcanzar el objetivo deseado.
  •         Es aplicable tanto a problemas reales como ideales, concretos como abstractos.
  •         Es específico, aplicable sólo a un problema particular.

Ejemplo:
LAS EDADES DE PADRE E HIJO
Un padre y su hijo tienen en conjunto 55 años. Su edad respectiva está compuesta por las 2 mismas cifras pero colocadas al revés. ¿Cuáles son esas cifras?

SOLUCIÓN: MÉTODO POLYA
1) Entender un problema
  • Valores de edad
  • Cifras de edad relacionadas
  • Extraño: Las edades concuerdan si se colocan en orden diferente.

2)Diseñar un plan: 
   Ensayo y Error

3)Ejecutar el plan:

El problema se puede resolver probando con parejas de números que verifiquen las condiciones del problema. Para proceder de manera sistemática y exhaustiva en la búsqueda de soluciones conviene organizar los posibles ensayos o tanteos en forma de tablas como la que sigue y es fundamental analizar las soluciones y descartar las que no sean lógicas.

Evidentemente el problema puede resolverse también por métodos algebraicos.
Sea P la edad del padre y H la edad del hijo. Si “x” e “y” son las dos cifras de las que se componen ambas edades, se tiene que P= 10x + y mientras que H= 10y + x

4) Examinar la solución:
El método es muy efectivo aunque pueden aplicarse diferentes modos para la solución de este problema.
(Pueden resolverse por medio de creación de cuadro)
(Pueden resolverse por medio de ecuaciones algebraicas)



ESTRATEGIA DE CUADRO O LISTA

Esta forma de realizar o tratar de resolver el problema ayuda a mantener un orden.
Ejemplo:
Una dama lee un libro de 246 páginas. Cada noche lee ocho páginas en total, pero a partir de la segunda noche, vuelve a leer una página de la noche anterior. ¿Cuántas noches tardará en leer todo el libro?
Aplicando los pasos de Polya
1. Entender el Problema
Determinar en cuantas noches leerá la dama el libro completo si la primera noche lee ocho páginas y a partir de la segunda lee siete.
2. Trazar un plan
Hacer una lista o un cuadro
3. Ejecutar el plan
NÚMERO DE NOCHE
PÁGINAS LEÍDAS
TOTAL
1
8
8
2
7
3
7
4
7
5
7
...
6
7
…
Se necesitan 35 noches
4.  Mirar hacia atrás (Otra solución)
246-8=238/7=34+1 (la noche que restamos previo a la división)
Se necesitan 35 noches para que la dama lea el libro completo. 

Desarrollar y Usar la Estrategia: Hacer una Tabla

El método “Hacer una Tabla” es útil cuando se resuelven problemas que tienen que ver con relaciones numéricas. Cuando los datos se organizan en una tabla, es más fácil reconocer patrones y relaciones entre números. Apliquemos esta estrategia al siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Josie decide comenzar a practicar el trote (jogging). Durante la primera semana, ella trota 10 minutos cada día; en la segunda semana, trota 12 minutos cada día. Cada semana, ella quiere incrementar su tiempo de trote diario en 2 minutos. Si ella trota 6 días cada semana, ¿Cuál será el tiempo total de trote durante la sexta semana?
Solución
Paso 1: Entender el problema
Sabemos que durante la primera semana Josie trota 10 minutos cada dia, durante 6 días.
Sabemos que durante la segunda semana Josie trota 12 minutos cada día, durante 6 días.
Cada semana, ella incrementa en 2 minutos su tiempo de trote diario. Además, ella siempre practica el trote 6 veces a la semana.
Queremos conocer el tiempo total de trote en la sexta semana.
Paso 2: Trazar el plan
Una buena estrategia es hacer colocar los datos que nos proporciona el enunciado del problema en una tabla. Luego debemos usar la información proporcionada para encontrar nueva información. Podemos hacer la tabla con los siguientes encabezados.
Semana
Minutos por día
Minutos por Semana
El enunciado del problema nos dice que Josie trota 10 minutos al día, por 6 días durante la primera semana. También nos dice que ella trota 12 minutos al día, por 6 días en la segunda semana. Podemos entonces añadir toda esta información en nuestra tabla:
Paso 3: Aplicar estrategia/Resolver
Semana
Minutos por día
Minutos por semana
1
10
60
2
12
72
El enunciado del problema te indica que, cada semana, Josie incrementa su tiempo diario de trote en 2 minutos cada semana y que trota 6 veces por semana. Puedes utilizar esta información para completar la table hasta llegar a la sexta semana.
Semana
Minutos por día
Minutos por semana
1
10
60
2
12
72
3
14
84
4
16
96
5
18
108
6
20
120
Respuesta En la sexta semana, Josie trota un total de 120 minutos.
Paso 4: Mirar hacia atrás (Comprobar)
Josie incrementa su tiempo de trote diario en 2 minutos cada semana. Ella trota seis días por semana.
Esto significa que, cada semana, ella incrementa su tiempo de trote en 12 minutos cada semana.
En otras palabras, Josie comienza con 60 minutos por semana y luego ella incrementa su tiempo de trote en 12 minutos por semana, durante 5 semanas.
Esto significa que el tiempo total de trote para la sexta semana =60+12×5=120 minutos.


28/ 05/ 2019

ESTRATEGIA DE PATRÓN

Buscar un patrón es una estrategia que puede usarse para buscar patrones en los datos con la finalidad de resolver problemas. La finalidad de dicha estrategia es buscar datos o números que se repiten, o bien buscar eventos que se repiten. El siguiente problema puede resolverse a través de la técnica de encontrar un patrón.

EJEMPLO

Los inversionistas de la empresa analizan que, en un periodo de 5 meses, el valor promedio de nuestras acciones aumentará de la siguiente manera: 5, 28 , 87 , 200 y 385. De continuar así, ¿A cuánto podría ascender el séptimo mes?

Paso 1: Comprender el problema
¿Cuál es el resultado del séptimo mes?

Paso 2: Formular el Plan
Buscar un patrón

Paso 3: Llevar a cabo el plan
5      28      87      200      385      660      1043
  23     59      113       185     275     383    
     36      54        72       90        108    
          18        18       18        18
El patrón es de 18 en la última serie, entonces sumamos de forma ascendente para encontrar el resultado del último mes.


Paso 4: Mirar hacia atrás
Asciende en el séptimo mes con 1043.


29/ 05/ 2019

ESTRATEGIA DE VOLVER HACIA ATRÁS


Cuando se habla de volver hacia atrás en un problema de estrategias de resolución de problemas, nos referimos a una estrategia que utilizamos para resolver un problema “de atrás hacia delante”. Es una estrategia muy específica, ya que busca básicamente una cosa que se está pidiendo de una manera muy especial.
Ejemplo

Susana compró una revista en Q20.00 y después gastó en taxi la mitad del dinero que le había quedado. Luego compró un refresco y un pastel por Q25.00, finalmente gastó en una tienda de convivencia la mitad del dinero que le quedó. Salió de la tienda con Q50.00. ¿Cuánto dinero tenía al iniciar sus compras?

Paso 1: Comprender el problema. Determinar cuánto tenía al principio de iniciar sus compras. 

Paso 2: Formular un plan. Se utilizará la estrategia volver hacia atrás. 

Paso 3: Llevar a cabo el plan. 

Compró por Q20.00 →
Gastó la mitad que le quedaba→
Compró en Q25.00→
Gastó la mitad que le quedaba→
Salió con Q50.00
Q270.00
←250.00
←125.00
←100.00






Paso 4: Revisar y comprobar. 
Q270-20=250  -125 = 125 - 25 = 100 - 50= Q50.00
Susana tenía al inicio es de Q100.

Para más información y otros ejemplos ver ir a: https://www.youtube.com/watch?v=6sU7hyGKpGE

Comentarios
  • Método Pólya: 

Este método está enfocado en la resolución de problemas de cualquier tipo; promueve el uso de la lógica y el razonamiento para poder desarrollar estrategias que permitan obtener una respuesta correcta y verificable. Es utilizado con frecuencia en la vida cotidiana aunque las personas generalmente no lo noten.

  • Estrategia de ensayo y error: 

Es una estrategia que permite solucionar circunstancias  aplicables tanto a problemas reales como ideales, concretos como abstractos. Aunque no garantiza la resolución del problema (salvo cuando se conoce el universo de todas las posibles soluciones y el número de las mismas es finito) es una herramienta de resolución demasiado efectiva.
  • Estrategia de cuadro o lista: 

Puedes ver que al hacer una tabla fuimos capaces de organizar y clarificar la información proporcionada por el enunciado del problema. Dicha estrategia también nos ayudó en los siguientes pasos del problema. Este problema fue resuelto sencillamente a través de una tabla que contenía la información adecuada. En muchas situaciones, esta estrategia puede ser utilizada en conjunto con otras para encontrar la solución apropiada a un problema dado.
  • Estrategia de patrón 

La estrategia de patrón se aprende la importancia de ser observadores en cada problema que deseamos resolver, por ejemplo, para utilizar la estrategia debemos de ser atentos, comprender el problema y observadores para encontrar el patrón para la resolución del problema.

  • Estrategia de volver hacia atrás

La estrategia volver hacia atrás se debe de comprender bien el problema para una mejor solución y también se debe de ser ordenado  en cada paso que se lleva a cabo. Al igual es importante tener bien claro el orden de los sucesos en el problema.

30/05/2019

ESTRATEGIA DE RESOLVER UN PROBLEMA DE SIMILAR MÁS SIMPLE

Al tener un problema complejo suele ser de gran ayudar realizar un problema más sencillo que esté relacionado con el que se tiene que resolver, pero que su resolución sea más simple. 
En un problema sencillo similar se pretende buscar una relación o datos parecidos que involucren una idea a la situación que se plantea y estos acontecimientos aplicarlos al problema complejo para llegar a la solución final.
La definición anterior nos indica que esta estrategia nos va a ayudar a crear un problema más sencillo de un problema complicado, esto sustituyendo algunos valores (números) en donde se nos haga más sencillo visualizarlo y así realizarlo sin ningún problema, claro está que en el momento que se sustituyen los valores deben ser relacionados con el problema complejo, esto simplemente ayudará a realizar este problema con mayor facilidad y rapidez.
Ejemplo:
Problema: PESAR MONEDAS: usted tiene 8 monedas. De éstas, siete son auténticas y una es falsa, por ello pesa un poco menos que las demás. Tiene también una balanza de platillos que puede usar sólo tres veces. Diga cómo descubrir la moneda falsa en tres pesajes. Luego muestre cómo detectar la moneda falsa con únicamente dos pesajes. 
SOLUCIÓN (utilizando los 4 pasos de Polya):
1. Entender el problema
Se debe determinar la moneda falsa con tres pesajes primero y luego con dos pesajes.
2. Estrategia
Se usará la estrategia de resolver un problema similar más simple.
3. Aplicación de Estrategia 
El problema más simple es con tres pesajes; resolveremos ese primero. El más difícil es con dos pesajes; resolveremos ese después. 
- tomamos 4-4 monedas y las colocamos sobre los dos platillos (la que pese menos es donde se encuentra la moneda falsa)
- tomamos ese grupo de 4 monedas y las dividimos en 2, colocamos 2-2 en cada uno de los platillos (el grupo que pese menos es el que contiene la moneda falsa
- dividimos esas dos monedas a la mitad y colocamos 1-1 sobre la balanza, la que pese menos ESA ES LA MONEDA FALSA
4. Mirar hacia atrás
El grupo que pese menos al colocar las monedas en la balanza es el que contiene la moneda.
Comentario:
Esta es una estrategia fácil de usar, ya que se aplica a problemas en donde se necesita más la lógica basándose en solucionar primero un problema sencillo, o bien corto, y luego realizar el problema más complejo similar al anterior basándose en el método con el que se solucionó el mismo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Balbuena, L. y Coba, D. (1992). Matemática recreativa vista por los alumnos. Proyecto Sur de Ediciones, S.A.L. 1992

 Barrientos, O. (2010). La actitud científica ante la resolución de problemas matemáticos. La Paz: IIICAB.

Borragán, S. (2006) Descubrir, investigar, experimentar, iniciación a las ciencias. España: Secretaría General de Educación.

 Campistrous, L. y Rizo, C. (1996). Aprender a resolver problemas aritméticos. La Habana: Editorial pueblo y educación.

CK-12. (2012). Estrategias para Resolución de Problemas: Hacer una Tabla o Buscar un Patrón. Obtenido de https://www.ck12.org/book/CK-12-Algebra-I-Edicin-Espaola/section/1.8/

De Guzmán, M. (1991). Para pensar mejor. Barcelona: Labor S.A.

DHA, E. d. (2014). Estrategia de Hacer una Lista o Cuadro. Obtenido de dhaurl.blogspot: http://dhaurl.blogspot.com/2014/06/hacer-una-lista-o-cuadro.html

Escalante, S. (2015). MÉTODO PÓLYA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS (Estudio realizado con estudiantes de quinto primaria, sección "A", de la Escuela Oficial Rural Mixta "Bruno Emilio Villatoro López", municipio de La Democracia, departamento de Huehuetenango, Guatemala (Tesis te grado). Universidad Rafael Landívar, Quetzaltenango, Guatemala.

Miller, V. (2006) Razonamiento y aplicaciones. México, S.A.: Pearson Matemático.
Sánchez, J., & Ovalle, C. (2012). Estrategias de Razonamiento. (6ª. Edición).   Guatemala. Universidad Rafael Landivar.

Unknown. (19 de junio de 2014). Estrategias de resolución de problemas. Recuperado de: http://resoluciondeproblemasurl.blogspot.com/2014/06/estrategias-para-la-resolucion-de_7.html


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